傅里叶变换的时间微分性质
傅里叶变换
连续时间函数$$的傅立叶变换x(t)可以定义为，
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$
和傅立叶变换的逆被定义为，
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$
傅里叶变换的时间微分性质
陈述–傅里叶变换的时间微分性质表明，函数在时域中的微分等价于其傅里叶变换乘以频域中的因子$j\omega$。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据时间微分性质，
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdotX(\omega)}$$
证明
根据傅里叶逆变换的定义，我们有，
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$
两边取时间微分，我们得到，
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)\frac{d}{dt}[e^{j\omegat}]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)j\omegae^{j\omegat}d\omega}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=j\omega\left[\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega\right]=j\omega\cdotF^{-1}[X(\omega)]}$$
所以，
$$\mathrm{F\left[\frac{d}{dt}x(t)\right]=j\omega\cdotX(\omega)}$$
或者，也可以表示为，
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdotX(\omega)}$$
一般来说，$n^{th}$阶微分的时间微分性质由下式给出，
$$\mathrm{\frac{d^{n}}{(dt)^{n}}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}(j\omega)^{n}\cdotX(\omega)}$$
数值示例
利用傅里叶变换的时间微分性质，求出$\left[X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}}\right]$的傅里叶逆变换
解决方案
给定的
$$\mathrm{X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}}}$$
单边指数函数的傅里叶变换定义为，
$$\mathrm{F[t\:e^{-at}u(t)]=\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}}$$
因此，对于给定的函数(a=1)，我们有，
$$\mathrm{F[t\:e^{-t}u(t)]=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
让，
$$\mathrm{x_{1}(t)=t\:e^{-t}u(t)}$$
然后，
$$\mathrm{x_{1}(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
现在，利用x(t)傅立叶变换的时间微分性质$[即\frac{d}{dt}\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdotX(\omega)]$，我们得到，
$$\mathrm{F\left[\frac{d}{dt}x_{1}(t)\right]=j\omega\cdotX_{1}(\omega)}$$
因此，给定函数的逆傅立叶变换是，
$$\mathrm{F^{-1}[j\omega\cdotX_{1}(\omega)]=\frac{d}{dt}x_{1}(t)=\frac{d}{dt}[t\:e^{-t}u(t)]}$$