连续时间傅立叶级数的时间微分和积分性质
傅立叶级数
如果$$x(t)是周期为$T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为，
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}...(1)}$$
其中，$C_{n}$是指数傅立叶级数系数，由下式给出，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt...(2)}$$
傅里叶级数的时间微分特性
如果$$x(t)是一个周期函数，时间周期为T，傅立叶级数系数$C_{n}$。如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅里叶级数的时间微分性质表明
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}}$$
证明
由连续时间傅立叶级数的定义，我们得到，
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}...(3)}$$
通过对等式(3)两边进行时间微分，我们有，
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\frac{d(e^{jn\omega_{0}t})}{dt}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}(jn\omega_{0})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0}t}…(4)}$$
$$\mathrm{∵\:\sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[jn\omega_{0}C_{n}]...(5)}$$
从等式(4)和(5)，我们得到，
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FT}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}\:\:(Hence\:Proved)}$$
连续时间傅立叶级数的时间积分特性
如果$$x(t)是一个周期函数，时间周期为T，傅立叶级数系数$C_{n}$。那么，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅立叶级数的时间积分性质表明
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\:C_{0}=0}$$
证明
由连续时间傅立叶级数的定义，我们得到，
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}...(6)}$$
通过对等式(6)两边的时间积分，我们有，
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}x(τ)dτ=\int_{−\infty}^{t}\left[\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0}τ}\right]dτ}$$
重新排列积分和求和，我们得到，
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\int_{−\infty}^{t}e^{jn\omega_{0}τ}dτ}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left[\frac{e^{jn\omega_{0}τ}}{jn\omega_{0}}\right]_{−\infty}^{t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left[\frac{e^{jn\omega_{0}t}}{jn\omega_{0}}-\frac{e^{−\infty}}{jn\omega_{0}}\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left(\frac{e^{jn\omega_{0}t}}{jn\omega_{0}}\right)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left(\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}}\right)e^{jn\omega_{0}t}...(7)}$$
$$\mathrm{∵\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left(\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}}\right)e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}\left(\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}}\right)...(8)}$$
因此，从等式(7)和(8)，我们得到，
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\:C_{0}=0\:\:(Hence,\:Proved)}$$