详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现
约瑟夫环问题
N个人围成一圈顺序编号,从1号开始按1、2、3......顺序报数,报p者退出圈外,其余的人再从1、2、3开始报数,报p的人再退出圈外,以此类推。
请按退出顺序输出每个退出人的原序号
算法思想
用数学归纳法递推。
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),若nm非常大,无法在短时间内计算出结果。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1)出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
kk+1k+2...n-2,n-1,0,1,2,...k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k -->0
k+1 -->1
k+2 -->2
...
...
k-2 -->n-2
k-1 -->n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况——这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;(i>1)
实现方法
一、循环链表
建立一个有N个元素的循环链表,然后从链表头开始遍历并计数,如果基数i==m,则踢出该元素,继续循环,直到当前元素与下一个元素相同时退出循环
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> typedefstructlnode { intpos; structlnode*next; }lnode; /** *构建循环链表&&循环遍历 */ voidcreate_ring(lnode**root,intloc,intn) { lnode*pre,*current,*new; current=*root; pre=NULL; while(current!=NULL){ pre=current; current=current->next; } new=(lnode*)malloc(sizeof(lnode)); new->pos=loc; new->next=current; if(pre==NULL){ *root=new; }else{ pre->next=new; } //循环链表 if(loc==n){ new->next=*root; } } /** *约瑟夫环 */ voidkickoff_ring(lnode*head,intp) { inti; lnode*pre,*pcur; pre=pcur=head; while(pcur->next!=pcur){ for(i=1;i<p;i++){ pre=pcur; pcur=pcur->next; } printf("%d",pcur->pos); pre->next=pcur->next; free(pcur); pcur=pre->next; } printf("%d\n",pcur->pos); free(pcur); } voidprint_ring(lnode*head) { lnode*cur; cur=head; while(cur->next!=head){ printf("%d",cur->pos); cur=cur->next; } printf("%d\n",cur->pos); } intmain() { inti,p,n; lnode*head; while(scanf("%d%d",&n,&p)!=EOF){ //构建循环链表 for(i=1,head=NULL;i<=n;i++) create_ring(&head,i,n); //约瑟夫环 if(p!=1) kickoff_ring(head,p); else print_ring(head); } return0; }
/**************************************************************
Problem:1188
User:wangzhengyi
Language:C
Result:Accepted
Time:110ms
Memory:912kb
****************************************************************/
二、数组模拟
思想跟循环链表类似,少了构建循环链表的过程
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> intmain() { inti,index,p,n,remain,delete[3001],flag[3001]={0}; while(scanf("%d%d",&n,&p)!=EOF){ remain=n; index=0; while(remain>=1){ for(i=0;i<n;i++){ if(flag[i]==0){ //报数 index++; //报p者退出圈外 if(index==p){ //退出圈外 flag[i]=1; //重新报数 index=0; delete[remain-1]=i+1; remain--; } } } } //输出每个退出人的序号 for(i=n-1;i>=0;i--){ if(i==0){ printf("%d\n",delete[i]); }else{ printf("%d",delete[i]); } } } return0; }
三、数学推导
#include<stdio.h> intmain(void) { inti,n,m,last; while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0){ //接收报数 scanf("%d",&m); //约瑟夫环问题 for(i=2,last=0;i<=n;i++){ last=(last+m)%i; } printf("%d\n",last+1); } return0; }