详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现
约瑟夫环问题
N个人围成一圈顺序编号，从1号开始按1、2、3......顺序报数，报p者退出圈外，其余的人再从1、2、3开始报数，报p的人再退出圈外，以此类推。
请按退出顺序输出每个退出人的原序号
算法思想
用数学归纳法递推。
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，若nm非常大，无法在短时间内计算出结果。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1)出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
kk+1k+2...n-2,n-1,0,1,2,...k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k -->0
k+1 -->1
k+2 -->2
...
...
k-2 -->n-2
k-1 -->n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况——这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;(i>1)
实现方法
一、循环链表
建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并计数，如果基数i==m，则踢出该元素，继续循环，直到当前元素与下一个元素相同时退出循环
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
typedefstructlnode
{
intpos;
structlnode*next;
}lnode;
/**
*构建循环链表&&循环遍历
*/
voidcreate_ring(lnode**root,intloc,intn)
{
lnode*pre,*current,*new;
current=*root;
pre=NULL;
while(current!=NULL){
pre=current;
current=current->next;
}
new=(lnode*)malloc(sizeof(lnode));
new->pos=loc;
new->next=current;
if(pre==NULL){
*root=new;
}else{
pre->next=new;
}
//循环链表
if(loc==n){
new->next=*root;
}
}
/**
*约瑟夫环
*/
voidkickoff_ring(lnode*head,intp)
{
inti;
lnode*pre,*pcur;
pre=pcur=head;
while(pcur->next!=pcur){
for(i=1;i<p;i++){
pre=pcur;
pcur=pcur->next;
}
printf("%d",pcur->pos);
pre->next=pcur->next;
free(pcur);
pcur=pre->next;
}
printf("%d\n",pcur->pos);
free(pcur);
}
voidprint_ring(lnode*head)
{
lnode*cur;
cur=head;
while(cur->next!=head){
printf("%d",cur->pos);
cur=cur->next;
}
printf("%d\n",cur->pos);
}
intmain()
{
inti,p,n;
lnode*head;
while(scanf("%d%d",&n,&p)!=EOF){
//构建循环链表
for(i=1,head=NULL;i<=n;i++)
create_ring(&head,i,n);
//约瑟夫环
if(p!=1)
kickoff_ring(head,p);
else
print_ring(head);
}
return0;
}
/**************************************************************
Problem:1188
User:wangzhengyi
Language:C
Result:Accepted
Time:110ms
Memory:912kb
****************************************************************/
二、数组模拟
思想跟循环链表类似，少了构建循环链表的过程
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
intmain()
{
inti,index,p,n,remain,delete[3001],flag[3001]={0};
while(scanf("%d%d",&n,&p)!=EOF){
remain=n;
index=0;
while(remain>=1){
for(i=0;i<n;i++){
if(flag[i]==0){
//报数
index++;
//报p者退出圈外
if(index==p){
//退出圈外
flag[i]=1;
//重新报数
index=0;
delete[remain-1]=i+1;
remain--;
}
}
}
}
//输出每个退出人的序号
for(i=n-1;i>=0;i--){
if(i==0){
printf("%d\n",delete[i]);
}else{
printf("%d",delete[i]);
}
}
}
return0;
}
三、数学推导
#include<stdio.h>
intmain(void)
{
inti,n,m,last;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0){
//接收报数
scanf("%d",&m);
//约瑟夫环问题
for(i=2,last=0;i<=n;i++){
last=(last+m)%i;
}
printf("%d\n",last+1);
}
return0;
}