使用Python实现牛顿法求极值
对于一个多元函数
其中
上述牛顿法不是全局收敛的。为此可以引入阻尼牛顿法(又称带步长的牛顿法)。
我们知道,求极值的一般迭代格式为
其中
取下降方向
以Rosenbrock函数为例,即有
于是可得函数的梯度
函数
编写Python代码如下(使用版本为Python3.3):
""" Newton法 Rosenbrock函数 函数f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2 梯度g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T) """ importnumpyasnp importmatplotlib.pyplotasplt defjacobian(x): returnnp.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)]) defhessian(x): returnnp.array([[-400*(x[1]-3*x[0]**2)+2,-400*x[0]],[-400*x[0],200]]) X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05) X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05) [x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2) f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2;#给定的函数 plt.contour(x1,x2,f,20)#画出函数的20条轮廓线 defnewton(x0): print('初始点为:') print(x0,'\n') W=np.zeros((2,10**3)) i=1 imax=1000 W[:,0]=x0 x=x0 delta=1 alpha=1 whilei10**(-5): p=-np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x)) x0=x x=x+alpha*p W[:,i]=x delta=sum((x-x0)**2) print('第',i,'次迭代结果:') print(x,'\n') i=i+1 W=W[:,0:i]#记录迭代点 returnW x0=np.array([-1.2,1]) W=newton(x0) plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:])#画出迭代点收敛的轨迹 plt.show()
上述代码中jacobian(x)返回函数的梯度,hessian(x)返回函数的Hesse矩阵,用W矩阵记录迭代点的坐标,然后画出点的搜索轨迹。
可得输出结果为
初始点为: [-1.21.] 第1次迭代结果: [-1.17528091.38067416] 第2次迭代结果: [0.76311487-3.17503385] 第3次迭代结果: [0.763429680.58282478] 第4次迭代结果: [0.999995310.94402732] 第5次迭代结果: [0.99999570.99999139] 第6次迭代结果: [1.1.]
即迭代了6次得到了最优解,画出的迭代点的轨迹如下:
由于主要使用了Python的Numpy模块来进行计算,可以看出,代码和最终的图与Matlab是很相像的。
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