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证明有限个可数集的笛卡尔积是可数的？

2023-06-07 15:56:03 407

我们必须证明有限个可数集的笛卡尔积是可数的。

令X1,X2,……..Xn为可数集。

Yk=X1*X2*…….*当k=1时，Xk……。否）。因此，

Yn:=X1*X2*···*Xn

证明

使用归纳-

如果k=1，则Y1=X1是可数的。

假设Yk(k∈n,1≤k

那么Yk+1=(X1*X2*…….*Xk)*Xk+1=Yk*Xk+1其中Yk和Xk+1可以称为可数的。因此可数集的笛卡尔积总是可数的。所以，Yk+1是可数的。

同样，让我们证明有限个可数无限集的笛卡尔积是可数无限的。

证明

令X1,X2,……..Xn为可数无穷集。

定义Yk=X1*X2*…….*Xk当k=1……。否）。因此

因此，Yn:=X1*X2*···*Xn

首先我们需要证明Yn是可数的。

通过归纳法

如果k=1，则集合Y1=X1是可数无穷大的。

假设Yk(K☐N,1<=K

然后，

Yk+1=(X1*X2*....Xk)*Xk+1

Yk+1=Yk*Xk+1

其中，Yk和Xk+1都是可数无穷大，我们知道可数集的笛卡尔积是可数的。

因此，Yk+1是可数无穷大。

我们得出结论，X1*X2*.....Xn是可数无限的。

因此，有限个可数无限集的笛卡尔积是可数无限的。